Smooth Gevrey normal forms of vector fields near a fixed point

We study germs of smooth vector fields in a neighborhood of a fixed point having an hyperbolic linear part at this point. It is well known that the “small divisors” are invisible either for the smooth linearization or normal form problem. We prove that this is completely different in the smooth Gevrey category. We prove that a germ of smooth α-Gevrey vector field with an hyperbolic linear part admits a smooth β-Gevrey transformation to a smooth β-Gevrey normal form. The Gevrey order β depends on the rate of accumulation to 0 of the small divisors. We show that a formally linearizable Gevrey smooth germ with the linear part satisfies Brjuno’s small divisors condition can be linearized in the same Gevrey class. Formes normales Gevrey lisses de champs de vecteurs au voisinage d’un point fixe Résumé Nous étudions des germes lisses (i.e. C∞) de champs de vecteurs au voisinage d’un point fixe en lequel la partie linéaire est hyperbolique. Il est bien connu que les petits diviseurs sont “invisibles” dans les problèmes de linéarisation ou de mise sous forme normale lisses. Nous montrons qu’il en est tout autrement dans la catégorie Gevrey lisse. Nous montrons qu’un germe de champ de vecteurs α-Gevrey lisse ayant une partie linéaire hyperbolique au point fixe admet une transformation β-Gevrey lisse vers une forme normale β-Gevrey lisse où l’indice β dépend de la vitesse d’accumulation vers zéro des “petits diviseurs”. De plus, si le germe de champ de vecteurs, formellement linarisable, est Gevrey lisse et admet une partie linaire vrifiant la condition dioophantienne de Brjuno alors il est linarisable dans la mme classe Gevrey.